Inhaltsverzeichnis

Übersicht
Koordinatensystem und Vorzeichen
Beispiel
Hinweise zur Bedienung der App
Darstellungen 3D
Bezeichnungen
Voreinstellungen
Installation als App auf dem Desktop
Kompatibilität
Hilfe: Meine Tastatur hat keine Minus-Taste, virtuelle Tastatur

Übersicht

Mit dieser Webanwendung können Querschnittswerte und Spannungen von dünnwandigen Querschnitten berechnet werden. Es wird das Mittellinienmodell (Drahtmodell) angewendet und zur Lösung wird die finite Element Methode verwendet [1], [2]. Der Querschnitt wird ähnlich wie ein Stabwerk oder Fachwerk durch mehrere gerade Elemente beschrieben, die über Knoten miteinander verbunden sind. Die Theorie erfordert, dass jedes Element mindestens eine Verbindung zu einem anderen Element haben muss. Es dürfen also keine Elemente „alleine“ im Querschnitt sein. Dies bedeutet, dass es von jedem Element einen Pfad zu allen anderen Elementen geben muss.
Die Knotenkoordinaten werden in einem ȳ-z̄ Hilfskoordinatensystem eingegeben, dessen Ursprung beliebig gewählt werden kann.
Die Elemente haben einen Anfangs- und Endknoten und können quadratische Schubspannungsverläufe exakt darstellen. Deshalb ist keine Verfeinerung erforderlich. Die Richtung der Schubspannungen wird in den Viertelspunkten der Elemente an der rechten und linken Seite mit Pfeilen angezeigt. Wenn man gedanklich vom Elementanfang zum Elementende blickt, dann befindet sich die rechte Seite des Elementes an der rechten Hand.

Da die Elemente unterschiedliche Materialeigenschaften haben können, sind Referenzwerte anzugeben. Diese sind auch in einem Stabwerksprogramm als Materialdaten zu verwenden, wenn die berechneten ideellen Querschnittswerte für einen Stab-Querschnitt verwendet werden.

Die Normalspannungen infolge N, M_y und M_z werden mit den üblichen Formeln der Mechanik unter Annahme des Ebenbleibens der Querschnitte nach Bernoulli berechnet.

Die Schubspannungen sind positiv, wenn sie in Richtung des lokalen Koordinatensystems des Elementes wirken. Die positive lokale Richtung zeigt vom Anfangs- zum Endknoten des Elementes.

Eigenschaften des Programms:

Der Querschnitt kann unsymmetrisch, offen und/oder geschlosssen sein
Linear elastisches Material
Die Breite der Elemente ist elementweise konstant
Jedes Element hat eigene Materialeigenschaften
Berechnung aller Querschnittswerte
Spannungsberechnung infolge von Normal- und Querkräften N, V_y und V_z,
Biegemomente M_y und M_z,
Primärer und sekundärer Torsion M_xp , M_xs sowie Wölbbimoment M_ω.

Der Querschnitt wird in der y-z Ebene und in einer 3D-Ansicht dargestellt. Die Schubspannungen werden parallel zur x-Achse flächig über die Elementdicke gezeichnet.

Koordinatensystem und Vorzeichen

Vorzeichen der Schnittgrößen
Vorzeichen Element

Beispiel

Einzelliger Hohlkastenquerschnitt

Dieses Beispiel wurde in [2] behandelt. Die Querschnittsdaten wurden beim Programmstart automatisch geladen.

Schnittgrößen:

M_xp = 250 kNm; M_xs = 150 kNm; M_ω = 10 kNm²

V_y = 1000 kN; V_z = 500 kN

Material:

E = 21.000 kN/cm²; ν = 0,3

Hinweise zur Bedienung der App

Eingabe

Als Dezimal-Trennzeichen ist das Komma oder der Punkt zulässig. Ein Tausender-Trennzeichen ist nicht zulässig.

Um die Knoten- und Elementeingabe zu beschleunigen, können einzelne Zellwerte oder Zeilen der Tabellen kopiert bzw. generiert werden. Es kann durch Drücken der linken Maustaste ein Block selektiert werden. Nach dem Loslassen der Maustaste erscheint ein Kontextmenü.
Bei Touch screens: Bei Eingabe mit dem Finger oder Stift ist zuerst der Selektiermodus durch Anklicken der Checkbox über einer Tabelle zu aktivieren. Beim Übersteichen mit dem Finger oder dem Stift werden dann wie bei der Maus die selektierten Zellen farblich markiert. Nach Heben des Fingers/Stifts erscheint das Kontextmenu. Während des Selektiermodus können keine Werte eingegeben werden.

Kontextmenü

copy first cell value: Es wird der Wert der zuerst selektierten Zelle in die anderen selektierten Zellen kopiert.
copy first row values: Es sind mindestens zwei Zeilen zu selektieren. Es werden die Werte der obersten Zeile spaltenweise nach unten kopiert.
increment by 1: Es sind mindestens zwei Zeilen zu selektieren. Es werden die Werte der obersten Zeile spaltenweise um 1 erhöht.
increment by delta: Es sind mindestens drei Zeilen zu selektieren. Es werden spaltenweise die Differenzen zwischen der obersten und der darunterliegenden Zeile bestimmt. Die darunterliegenden Zeilen werden spaltenweise mit den berechneten Deltawerten verändert.
copy to clipboard: Der Inhalt der selektierten Zellen wird in die Zwischenablage kopiert und kann zum Beispiel an anderen Stellen der Tabelle eingesetzt werden. Auch können die Werte an andere Programme übergeben werden (Tabellenkalkulation)
insert from clipboard: Der Inhalt der Zwischenablage wird beginnend an der linken oberen Zelle des markierten Bereichs eingefügt.
close: Der Dialog wird ohne weitere Ausführungen beendet.

Bei iOS erfolgt die Auswahl im Kontextmenü mit einem Doppelklick.

Hinweis: An jedes Tablett und Smartphone läßt sich eine Bluetooth Maus und/oder Tastatur anschließen.

Um den begrenzten Bildschirmplatz auf Smartphones und Tabletts besser zu nutzen, werden die Anzahl der Zeilen in den Tabellen für die Knotenkoordinaten und Elemente durch die Eingabe der Anzahl Knoten und Elemente bestimmt. Deshalb sind erst die neue Anzahl Elemente und Knoten einzugeben und dann die Größe der Tabellen mit Hilfe des Buttons 'resize Tabellen' zu änden. Der Vorgang kann beliebig oft wiederholt werden.

Darstellungen 3D

Die Darstellungsoptionen können beliebig kombiniert werden.

Controls

Beschriftung: Beschriftung der Elemente und Spannungen. Die Art der Beschriftung ist abhängig von der Wahl weiterer Optionen.
Schubspannung: Darstellung der Schubspannungen.
Normalspannung: Darstellung der Normalspannungen.
Vergleichsspannung: Darstellung der Vergleichsspannungen nach Mises: \(σ_v = \sqrt{σ^2+3·τ^2} \)
Siehe auch Option 'Sigma Fläche'
fyRd anzeigen: Grafische Darstellung der Spannung f_y,Rd über die Querschnittsfläche
Omega: Wölbordinate ω
Verschiebung u: Die Verschiebung u (Verwölbung) des Querschnitts infolge der Schubspannungen wie in der FEM berechnet. Knoten 1 ist fest gelagert, so dass die Darstellung eine Starrkörperverschiebung enthält. Auf die Ergebnisse hat dies keinen Einfluss, da nur die Ableitungen der Verschiebung u zur Berechnung der Spannungen benötigt werden [1], [2].
Skalierung: Skalierung der Spannungen.
Seiten anzeigen: Bei Darstellung der Schubspannungen können die Seitenflächen ausgeblendet werden.
Pfeile anzeigen: Darstellung der wirklichen Richtungen der Schubspannungen.
Skalierung Pfeile: Skalierung der Richtungspfeile.
Sigma Fläche: Drahtmodell-Darstellung der Normalspannungen über die Fläche der Elemente. Wenn diese Option gewählt wird, dann werden die Vergleichsspannungen auch an den Flächenrändern berechnet. Sonst wird die Vergleichsspannung aus der Normalspannung in der Mittelfläche verwendet.
rechts/links anzeigen: Beschriftung der Elementseiten und Darstellung des Element-Anfangsknotens durch einen Pfeil.
Reset: Rotationswinkel und Zoom werden zurückgesetzt.

Bezeichnungen

Knoten-Inzidenzen der Elemente
nod1 = Knoten-Inzidenz am Elementanfang
nod2 = Knoten-Inzidenz am Elementende

A_geom = geometrische Querschnittsfläche, Fläche ohne Berücksichtigung der Materialdaten.

Schubspannungen aus primärer Torsion M_xp:
τ_xs0,L = Schubspannung aus Anteil offener Querschnitt, linke Seite, linearer Verlauf über Elementbreite
τ_xs0,R = Schubspannung aus Anteil offener Querschnitt, rechte Seite
τ_xs1 = Schubspannung aus Anteil geschlossener Querschnitt, konstant über Elementbreite

Schubspannungen aus Querkraft und sekundärer Torsion M_xs:
τ_xsa = Schubspannung am Elementanfang a
τ_xsm = Schubspannung in Elementmitte m
τ_xse = Schubspannung am Elementende e, alle Spannungen konstant über Elementbreite

Alle anderen Bezeichnungen analog.

Voreinstellungen

In dem ꔷꔷꔷ Punkte Menü kann unter anderem die Längeneinheit eingestellt werden. Die Einheit für die Spannung wird angepasst: mm → N/mm² ; cm → kN/cm² ; m → MN/m² . Die neu eingestellte Einheit wird sofort in die Eingabeseite übernommen. Danach ist noch eine Neuberechnung durchzuführen, damit die Einheiten der Ergebnisse angepasst werden.
Desweiteren kann noch die Schriftgröße und die Tabellenfarbe eingestellt werden.
Die Einstellungen der Seite können als Voreinstellung im lokalen Speicher des verwendeten Browsers gespeichert werden und stehen nach einem Programmneustart wieder zur Verfügung. Die Voreinstellungen können mit dem darunterliegenden Button wieder gelöscht werden.
Bei dem lokalen Speicher (local storage) handelt es sich nicht um Cookies. Diese Webanwendung führt alle Berechnungen auf dem lokalen Rechner im Browser in JavaScript durch. Es werden keine Daten mit einem Webserver ausgetauscht. Nach dem Programmstart ist deshalb keine Netzwerkverbindung mehr erforderlich.

Die Option 'Breite Browserfenster' ist nur interessant bei sehr breiten Bildschirmen und wenn der Browser im Fullscreenmodus betrieben wird. Dann kann die Ausgabebreite der Anwendung reduziert werden. Die Bereich wird mittig zentriert.

Installation als App auf dem Desktop

Diese Anwendung ist als Webanwendung (Web App) programmiert, so dass sie unter allen Betriebssystemen auf dem Desktop installiert werden kann. Dafür wird auf dem Desktop ein Icon erstellt. Damit verhält sich die App wie eine aus einem Store installierte App. DuennQs wird natürlich weiterhin im installierten Browser ausgeführt, allerdings ohne Bedienelemente wie zum Beispiel die Adressleiste. Die Installation unterscheidet sich je nach Betriebssystem, -version und Browser.
Nachdem duennQs erstmalig im Browser gestartet wurde, wählt man unter Android im Chrome Browser rechts oben aus dem Anwendungsmenü (Drei-Punkte-Menü) die Option 'App installieren'. Ein Dialog erscheint, der zu bestätigen ist. Danach kann der Browser geschlossen werden. Auf dem Desktop gibt es jetzt ein neues Icon mit Namen DuennQs.

Für die Installation unter iOS ist der Safari Browser zu verwenden. Hier heißt der Befehl 'Zum Home-Bildschirm' mit einem Addieren-Symbol

Die Installation unter Microsoft Windows ist ähnlich der Installation unter Android. Im Edge Browser steht folgender Abschnitt im Anwendungsmenü (Drei-Punkte-Menü)
Bei neueren Chrome Versionen werden Sie unter Umständen direkt gefragt, ob eine Installation gewünscht wird, siehe Symbol rechts in der Adressleiste :

Unter macOS ist der Microsoft Edge or Google Chrome Browser zur Installation zu verwenden.

Der Firefox Browser unterstützt die Installation zur Zeit noch nicht.
Unter den PC-Betriebsystemen Microsoft Windows und Linux kann alternativ mit der F11-Taste in den Vollbildmodus umgeschaltet werden.

Eine Deinstallation erfolgt durch einfaches Löschen des Icons auf dem Desktop.

Kompatibilität und Probleme

Es wurden folgenden Betriebssysteme getestet: Windows 10↑, macOS Catalina 10.15.7↑, Ubuntu 22.04↑, Android 9-13, iOS 15.7.3↑.

Es wurden folgende Browser in der aktuellsten Version getestet: Chrome, Chromium, Edge, Safari, Firefox. Nur die aktuellen Versionen werden getestet und unterstützt.

Probleme: Unter Android Firefox funktioniert die Selektion der Zellen in den Tabellen nicht.

Virtuelle Tastatur

Auf manchen Android Geräten, besonders von Samsung, enthält die numerische Tastatur keine Taste für ein negatives Vorzeichen. Leider überlässt es die HTML Spezifikation dem Gerätehersteller, ob die numerische Tastatur eine Taste für das negative Vorzeichen enthält. Der tiefere Sinn dahinter erschliesst nach den vielen Interneteinträgen zu urteilen wohl nur wenigen Menschen. Es wird in diesen Fällen empfohlen, eine zusätzliche virtuelle Tastatur zu installieren. Als Alternative bietet sich zum Beispiel die Original Google Android Tastatur Gboard aus dem Play Store an. Nach der Installation muss die Tastatur noch aktiviert werden. Am Besten gleich im Play Store durchführen. Später kann man immer zwischen den installierten Tastaturen wechseln ( Icon rechts unten auf der Tastatur).

Literatur

[1] Matthias Kraus: Computerorientierte Berechnungsmethoden für beliebige Stabquerschnitte des Stahlbaus, Dissertation, Bochum 2005

[2] Matthias Kraus; Rolf Kindmann: Finite-Elemente-Methoden im Stahlbau, 2.Auflage, Ernst W. & Sohn Verlag, 2019